教学目标
(一)教学知识点
1.了解圆与圆之间的几种位置关系.
2.了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径r和r的数量关系的联系.
(二)能力训练要求
1.经历探索两个圆之间位置关系的过程,训练学生的探索能力.
2.通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系,发展学生的识图能力和动手*作能力.
(三)情感与价值观要求
1.通过探索圆和圆的位置关系,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨*以及数学结论的确定*.
2.经历探究图形的位置关系,丰富对现实空间及图形的认识,发展形象思维.
教学重点
探索圆与圆之间的几种位置关系,了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径r和r的数量关系的联系.
教学难点
探索两个圆之间的位置关系,以及外切、内切时两圆圆心距d、半径r和r的数量关系的过程.
教学方法
教师讲解与学生合作交流探索法
教具准备
投影片三张
第一张:(记作3.6a)
第二张:(记作3.6b)
第三张:(记作3.6c)
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]我们已经研究过点和圆的位置关系,分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种;还探究了直线和圆的位置关系,分别为相离、相切、相交.它们的位置关系都有三种.今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系,那么结果是不是也是三种呢?没有调查就没有发言权.下面我们就来进行有关探讨.
Ⅱ.新课讲解
一、想一想
[师]大家思考一下,在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢?
[生]如自行车的两个车轮间的位置关系;车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系;用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等.
[师]很好,现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多.下面我们就来讨论这些位置关系分别是什么.
二、探索圆和圆的位置关系
在一张透明纸上作一个⊙o.再在另一张透明纸上作一个与⊙o1半径不等的⊙o2.把两张透明纸叠在一起,固定⊙o1,平移⊙o2,⊙o1与⊙o2有几种位置关系?
[师]请大家先自己动手*作,总结出不同的位置关系,然后互相交流.
[生]我总结出共有五种位置关系,如下图:
[师]大家的归纳、总结能力很强,能说出五种位置关系中各自有什么特点吗?从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑.
[生]如图:(1)外离:两个圆没有公共点,并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部;
(2)外切:两个圆有唯一公共点,除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部;
(3)相交:两个圆有两个公共点,一个圆上的点有的在另一个圆的外部,有的在另一个圆的内部;
(4)内切:两个圆有一个公共点,除公共点外,⊙o2上的点在⊙o1的内部;
(5)内含:两个圆没有公共点,⊙o2上的点都在⊙o1的内部.
[师]总结得很出*,如果只从公共点的个数来考虑,上面的五种位置关系中有相同类型吗?
[生]外离和内含都没有公共点;外切和内切都有一个公共点;相交有两个公共点.
[师]因此只从公共点的个数来考虑,可分为相离、相切、相交三种.
经过大家的讨论我们可知:
投影片(24.3a)
(1)如果从公共点的个数,和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑,两个圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.
(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种:相离、相切、相交,并且相离,相切
三、例题讲解
投影片(24.3b)
两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图所示(点o,o'是圆心),分隔两个肥皂泡的肥皂膜pq成一条直线,tp、np分别为两圆的切线,求tpn的大小.
分析:因为两个圆大小相同,所以半径op=o'p=oo',又tp、np分别为两圆的切线,所以ptop,pno'p,即opt=o'pn=90,所以tpn等于360减去opt+o'pn+opo'即可.
解:∵op=oo'=po',
△po'o是一个等边三角形.
opo'=60.
又∵tp与np分别为两圆的切线,
tpo=npo'=90.
tpn=360-290-60=120.
四、想一想
如图(1),⊙o1与⊙o2外切,这个图是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?切点与对称轴有什么位置关系?如果⊙o1与⊙o2内切呢?〔如图(2)〕
[师]我们知道圆是轴对称图形,对称轴是任一直径所在的直线,两个圆是否也组成一个轴对称图形呢?这就要看切点t是否在连接两个圆心的直线上,下面我们用反*法来*.反*法的步骤有三步:第一步是假设结论不成立;第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论;第三步是*假设错误,则原来的结论成立.
*:假设切点t不在o1o2上.
因为圆是轴对称图形,所以t关于o1o2的对称点t'也是两圆的公共点,这与已知条件⊙o1和⊙o2相切矛盾,因此假设不成立.
则t在o1o2上.
由此可知图(1)是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线,切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上.
在图(2)中应有同样的结论.
通过上面的讨论,我们可以得出结论:两圆相内切或外切时,两圆的连心线一定经过切点,图(1)和图(2)都是轴对称图形,对称轴是它们的连心线.
五、议一议
投影片(24.3c)
设两圆的半径分别为r和r.
(1)当两圆外切时,两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与r和r具有怎样的关系?反之当d与r和r满足这一关系时,这两个圆一定外切吗?
(2)当两圆内切时(r>r),圆心距d与r和r具有怎样的关系?反之,当d与r和r满足这一关系时,这两个圆一定内切吗?
[师]如图,请大家互相交流.
[生]在图(1)中,两圆相外切,切点是a.因为切点a在连心线o1o2上,所以o1o2=o1a+o2a=r+r,即d=r+r;反之,当d=r+r时,说明圆心距等于两圆半径之和,o1、a、o2在一条直线上,所以⊙o1与⊙o2只有一个交点a,即⊙o1与⊙o2外切.
在图(2)中,⊙o1与⊙o2相内切,切点是b.因为切点b在连心线o1o2上,所以o1o2=o1b-o2b,即d=r-r;反之,当d=r-r时,圆心距等于两半径之差,即o1o2=o1b-o2b,说明o1、o2、b在一条直线上,b既在⊙o1上,又在⊙o2上,所以⊙o1与⊙o2内切.
[师]由此可知,当两圆相外切时,有d=r+r,反过来,当d=r+r时,两圆相外切,即两圆相外切d=r+r.
当两圆相内切时,有d=r-r,反过来,当d=r-r时,两圆相内切,即两圆相内切d=r-r.
Ⅲ.课堂练习
随堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课学习了如下内容:
1.探索圆和圆的五种位置关系;
2.讨论在两圆外切或内切情况下,图形的轴对称*及对称轴,以及切点和对称轴的位置关系;
3.探讨在两圆外切或内切时,圆心距d与r和r之间的关系.
Ⅴ.课后作业习题24.3
Ⅵ.活动与探究
已知图中各圆两两相切,⊙o的半径为2r,⊙o1、⊙o2的半径为r,求⊙o3的半径.
分析:根据两圆相外切连心线的长为两半径之和,如果设⊙o3的半径为r,则o1o3=o2o3=r+r,连接oo3就有oo3o1o2,所以oo2o3构成了直角三角形,利用勾股定理可求得⊙o3的半径r.
解:连接o2o3、oo3,
o2oo3=90,oo3=2r-r,
o2o3=r+r,oo2=r.
(r+r)2=(2r-r)2+r2.
r=r.
板书设计
24.3圆和圆的位置关系
一、1.想一想
2.探索圆和圆的位置关系
3.例题讲解
4.想一想
5.议一议
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
1、教材分析(1)知识结构(2)重点、难点分析重点:两圆的位置关系和两圆相交、相切的*质.它们是本节的主要内容,是圆的重要概念*知识,也是今后研究圆与圆问题的基础知识.难点:两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的*质的运...
1、教材分析(1)知识结构(2)重点、难点分析重点:两圆的位置关系和两圆相交、相切的*质.它们是本节的主要内容,是圆的重要概念*知识,也是今后研究圆与圆问题的基础知识.难点:两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的*质的运...
这一节主要学习了圆和圆的位置关系,通过新的教学改革,学生分组学习的积极*提高了,学案的运用学生慢慢适应,并且起到了很好的作用。通过预习学案,学生提前预习,然后结合实际生活中的例子,包括两圆外离、内含、相交、外切、内切、同心圆等不同情况,让学...
本节课的教学设计本着这样的一个目的,在动眼、动手、动脑中创设轻松、自主的课堂气氛,使学生掌握获得知识的方法,体验学习的快乐。在整个课堂教学设计中,我做到了四个重视。第一,重视培养学生的创新意识和初步的探索教学内容的能力。具有探索*、开放*,...
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